数学建模学习笔记1——AHP层次分析法

介绍

作为建模比赛中最基础的模型之一，其主要用于解决评价类问题。(例如：选择哪种方案更好、哪种运动员或者员工表现的更优秀)

AHP的主要特点是通过建立递阶层次结构，把人类的判断转化到若干因素两两之间重要度的比较上，从而把难于量化的定性判断转化为可操作的重要度的比较上面。在许多情况下，决策者可以直接使用AHP进行决策，极大地提高了决策的有效性、可靠性和可行性，但其本质是一种思维方式，它把复杂问题分解成多个组成因素，又将这些因素按支配关系分别形成递阶层次结构，通过两两比较的方法确定决策阀杆相对重要度的总排序。整个过程体现了人类决策思维的基本特征，即分解、判断、综合。克服了其他方法回避决策者主观判断的缺点。

原理

方法一：使用打分法解决评价问题

需要完成权重表格：

	指标权重	方案1	方案2	……
指标1
指标2
指标3
……

同颜色的单元格的和为1，它们表示的针对某一因素所占的权重。

例题1：小明想去旅游，初步选择苏杭、北戴河和桂林三地之一作为目标景点。请你确定评价指标、形成评价体系来为小明选择最佳方案。

分析：解决评价类问题，首先要想到一下三个问题：

① 我们评价的目标是什么？

② 为了达到这个目标有哪几种可选的方案？

③ 评价的准则或指标是什么？(我们根据什么东西来评价好坏)

一般而言前两个问题的答案是显而易见的，第三个问题的答案需要我们根据题目汇总的背景材料、常识以及网上搜集到的参考资料进行结合，从中筛选出最合适的指标。

一致矩阵

$$
a_{ij}=\frac{i的重要程度}{j的重要程度}
$$

$$
a_{jk}=\frac{j的重要程度}{k的重要程度}
$$

$$
a_{ik}=\frac{i的重要程度}{k的重要程度}=a_{ij} \times a_{jk}
$$

一致性检验

原理：检验我们构造的判断矩阵和一致矩阵是否有太大的差别。

一致性检验的步骤

第一步：计算一致性指标CI：

$$
CI = \frac{\lambda_{max}-n}{n-1}
$$
第二步：计算查找对应的平均随机一致性指标RI

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
RI	0	0	0.52	0.89	1.12	1.26	1.36	1.41	1.46	1.49	1.52	1.54	1.56	1.58	1.59

平均随机一致性RI的表格中n最多是15。

第三步：计算一致性比例CR
$$
CR= \frac{CI}{RI}
$$
若CR＜0.1，则可认为判断矩阵的一致性可以接受；否则需要对判断矩阵进行修正。

第四步：计算各层元素度系统目标的合成权重，并进行排序。

层次分析法的一些局限性

评价的决策层不能太多，太多的话n会很大，判断矩阵和一致矩阵的差异也会很大。
如果决策层中指标的数据是已知的，那么我们如何利用这些来使得评价评价准确呢？